Как найти сумму бесконечно убывающей прогрессии

Определение бесконечно убывающей прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждый последующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель), причем |q| < 1.

Формула суммы бесконечно убывающей прогрессии

S = b₁ / (1 - q)

• S - сумма прогрессии
• b₁ - первый член прогрессии
• q - знаменатель прогрессии (|q| < 1)

Условия применимости формулы

Пошаговый алгоритм вычисления

1. Проверка условий

1. Убедитесь, что прогрессия действительно бесконечно убывающая
2. Проверьте, что |q| < 1

2. Определение параметров

• Найдите первый член прогрессии (b₁)
• Вычислите знаменатель прогрессии (q)

3. Подстановка в формулу

Вставьте полученные значения в формулу S = b₁ / (1 - q)

Примеры вычислений

Пример 1: Простая прогрессия

Пример 2: Прогрессия с десятичной дробью

• 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + ...
• b₁ = 10, q = 0.1
• S = 10 / (1 - 0.1) ≈ 11.111...

Графическая интерпретация

Поведение суммы

• С увеличением n сумма приближается к пределу
• Кривая суммы асимптотически приближается к значению S
• Разница между частичной суммой и S становится незначительной

Применение в практических задачах

Заключение

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии позволяет найти конечное значение суммы бесконечного числа слагаемых при соблюдении условия |q| < 1. Этот математический инструмент имеет широкое применение в различных научных и практических областях.