Как правильно рассчитать доверительный интервал

Доверительный интервал позволяет оценить диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методику его расчета для различных типов данных.

1. Основные понятия доверительного интервала

• Доверительная вероятность (уровень доверия) - обычно 90%, 95% или 99%
• Точечная оценка параметра - среднее значение или пропорция
• Стандартная ошибка - мера изменчивости оценки
• Критическое значение - Z-статистика или t-статистика

2. Формула расчета доверительного интервала

Общий вид формулы для среднего значения:

ДИ = X̄ ± Z*(σ/√n)

где X̄ - выборочное среднее, Z - критическое значение, σ - стандартное отклонение, n - объем выборки

3. Расчет для среднего значения (нормальное распределение)

4. Расчет для малых выборок (t-распределение)

1. Вычислите выборочное среднее и стандартное отклонение
2. Определите объем выборки (n)
3. Рассчитайте степени свободы: df = n-1
4. Найдите критическое значение t-статистики для выбранного уровня доверия
5. Используйте формулу: X̄ ± t*(s/√n), где s - выборочное стандартное отклонение

5. Доверительный интервал для пропорций

Формула для доли признака в выборке:

ДИ = p̂ ± Z*√(p̂(1-p̂)/n)

где p̂ - выборочная пропорция, n - объем выборки

6. Выбор уровня доверия

7. Интерпретация результатов

• Ширина интервала зависит от изменчивости данных и объема выборки
• Более высокий уровень доверия дает более широкий интервал
• При пересечении доверительных интервалов различия могут быть незначимы
• Нулевое значение в интервале означает отсутствие статистической значимости

8. Пример расчета для среднего значения

Дано: X̄ = 50, σ = 10, n = 100, доверительный уровень 95%

1. Z = 1.96 (для 95%)
2. Стандартная ошибка = 10/√100 = 1
3. ДИ = 50 ± 1.96*1 = [48.04, 51.96]
4. Вывод: с вероятностью 95% истинное среднее находится между 48.04 и 51.96