Доверительный интервал позволяет оценить диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методику его расчета для различных типов данных.
Содержание
Основные понятия доверительного интервала
- Доверительная вероятность (уровень доверия) - обычно 90%, 95% или 99%
- Точечная оценка параметра - среднее значение или пропорция
- Стандартная ошибка - мера изменчивости оценки
- Критическое значение - Z-статистика или t-статистика
Формула расчета доверительного интервала
Общий вид формулы для среднего значения:
ДИ = X̄ ± Z*(σ/√n)
где X̄ - выборочное среднее, Z - критическое значение, σ - стандартное отклонение, n - объем выборки
Расчет для среднего значения (нормальное распределение)
| Шаг | Действие |
| 1 | Вычислите выборочное среднее (X̄) |
| 2 | Определите стандартное отклонение (σ) |
| 3 | Выберите уровень доверия (обычно 95%) |
| 4 | Найдите критическое значение Z (для 95% это 1.96) |
| 5 | Рассчитайте стандартную ошибку: σ/√n |
| 6 | Вычислите границы интервала: X̄ ± Z*(σ/√n) |
Расчет для малых выборок (t-распределение)
- Вычислите выборочное среднее и стандартное отклонение
- Определите объем выборки (n)
- Рассчитайте степени свободы: df = n-1
- Найдите критическое значение t-статистики для выбранного уровня доверия
- Используйте формулу: X̄ ± t*(s/√n), где s - выборочное стандартное отклонение
Доверительный интервал для пропорций
Формула для доли признака в выборке:
ДИ = p̂ ± Z*√(p̂(1-p̂)/n)
где p̂ - выборочная пропорция, n - объем выборки
Выбор уровня доверия
| Уровень доверия | Z-значение | Применение |
| 90% | 1.645 | Предварительные исследования |
| 95% | 1.960 | Стандартный научный подход |
| 99% | 2.576 | Высокая точность требований |
Интерпретация результатов
- Ширина интервала зависит от изменчивости данных и объема выборки
- Более высокий уровень доверия дает более широкий интервал
- При пересечении доверительных интервалов различия могут быть незначимы
- Нулевое значение в интервале означает отсутствие статистической значимости
Пример расчета для среднего значения
Дано: X̄ = 50, σ = 10, n = 100, доверительный уровень 95%
- Z = 1.96 (для 95%)
- Стандартная ошибка = 10/√100 = 1
- ДИ = 50 ± 1.96*1 = [48.04, 51.96]
- Вывод: с вероятностью 95% истинное среднее находится между 48.04 и 51.96
